I是△ABC内心,
A关于BI对称点是K,
E为BC中点,
F为弧BC中点,
EF中点为N,
BI中点为M,
MN交BC于D,
求证:A、K、D、M四点共圆。

根据条件知K在直线BC上,且AB=KB。
连接AF,则AF过点I,且FB=FI。
因为M为BI中点,所以FM丄BI,
于是知B、M、E、F四点共圆。
所以∠MFE=∠EBI=∠ABI,
∠FME=∠FBC=∠FAC=∠BAI,
所以△MFE∽△ABI。
又N、M分别为EF、BI中点,
所以△MFN∽△ABM,
于是知∠FMN=∠BAM。
于是知∠DMA+∠DKA
=(∠FMA-∠FMN)+∠BAK
=(∠FMA-∠BAM)+(∠BAM+∠MAK)
=∠FMA+∠MAK。
又因为FM丄BI,AK丄BI,
所以FM丄AK,
所以∠FMA+∠MAK=180°,
于是知∠DMA+∠DKA=180°,
即A、K、D、M四点共圆。